题目内容

设P为椭圆 $数学公式$ 上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x²+y²=12相交于M，N两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为 $数学公式$ ，求直线MN的方程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．

解：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把 $\text{[math]}$ 代入椭圆，得横坐标为1或-1
所以P点坐标（1， $\text{[math]}$ ）或（-1， $\text{[math]}$ ）
当P点为（1， $\text{[math]}$ ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x-1），与椭圆 $\text{[math]}$ 联立，判别式等于0，即（4k²+3）x²+（-8k²+12k）x+（4k²-12k-3）=0，则k=-0.5，所以直线MN为x+2y-4=0
当P点为（-1， $\text{[math]}$ ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x+1），与椭圆 $\text{[math]}$ 联立，判别式等于0，即（4k²+3）x²+（8k²+12k）x+（4k²+12k-3）=0，则k=0.5，所以直线MN为x-2y+2=0
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁）
∵P为椭圆 $\text{[math]}$ 上的一个点，∴ $\text{[math]}$
∵椭圆 $\text{[math]}$ 在P处的切线方程为 $\text{[math]}$
又QM，QN为过点Q所引的⊙O：x²+y²=12的两条切线，可知切点弦MN所在直线的方程为x₁x+y₁y=12
∴ $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴点Q的轨迹方程 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把 $\text{[math]}$ 代入椭圆，可求P点坐标，进而分类讨论：当P点为（1， $\text{[math]}$ ）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，直线方程与椭圆 $\text{[math]}$ 联立，判别式等于0，可求直线侧斜率；同理可求当P点为（-1， $\text{[math]}$ ）时，直线的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），可得椭圆 $\text{[math]}$ 在P处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，又可知切点弦MN所在直线的方程为x₁x+y₁y=12，由于表示相同直线，故可得坐标关系，从而可求点Q的轨迹方程．
点评：本题以圆与椭圆为载体，综合考查轨迹问题，考察学生分析解决问题的能力，难度较大．