Question

设P为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的一个点，过点P作椭圆的切线与⊙O：x²+y²=12相交于M，N两点，⊙O在M，N两点处的切线相交于点Q．（1）若点P坐标为(m，

3

2

)，求直线MN的方程．（2）若P为椭圆上的一个动点，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把y=

3

2

代入椭圆，可求P点坐标，进而分类讨论：当P点为（1，

3

2

）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，直线方程与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立，判别式等于0，可求直线侧斜率；同理可求当P点为（-1，

3

2

）时，直线的方程；
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），可得椭圆

x2

4

+

y2

3

=1在P处的切线方程为

x0x

4

+

y0 y

3

=1，又可知切点弦MN所在直线的方程为x₁x+y₁y=12，由于表示相同直线，故可得坐标关系，从而可求点Q的轨迹方程．

解答：解：（1）因为P为椭圆上的一点，所以把y=

3

2

代入椭圆，得横坐标为1或-1
所以P点坐标（1，

3

2

）或（-1，

3

2

）
当P点为（1，

3

2

）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x-1），与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立，判别式等于0，即（4k²+3）x²+（-8k²+12k）x+（4k²-12k-3）=0，则k=-0.5，所以直线MN为x+2y-4=0
当P点为（-1，

3

2

）时，因为直线MN是过P点，且与椭圆相切的，所以设y-1.5=k（x+1），与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1联立，判别式等于0，即（4k²+3）x²+（8k²+12k）x+（4k²+12k-3）=0，则k=0.5，所以直线MN为x-2y+2=0
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁）
∵P为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上的一个点，∴

x 02

4

+

y 02

3

=1
∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1在P处的切线方程为

x0x

4

+

y0 y

3

=1
又QM，QN为过点Q所引的⊙O：x²+y²=12的两条切线，可知切点弦MN所在直线的方程为x₁x+y₁y=12
∴

x0 4

x1

=

y0 3

y1

=

1

12

故x0=

x1

3

，y0=

y1

4

∴

x 2 1

36

+

y 2 1

48

=1
∴点Q的轨迹方程

x 2

36

+

y 2

48

=1．

点评：本题以圆与椭圆为载体，综合考查轨迹问题，考察学生分析解决问题的能力，难度较大．