Question

已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；
（1）求椭圆的离心率；
（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由，得直线的倾斜角为，
则点到直线的距离，
故直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，                 （3分）
据题意有：，即，                      （5分）
化简得：，
解得：或，又椭圆的离心率；
故椭圆的离心率为．（7分）
（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；
当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；
故可设直线的方程为，
则点到直线的距离，
由（1）有，得=，
故直线被圆截得的弦长为，                       （9分）
则点到直线的距离，
，故直线被圆截得的弦长为，             （11分）
据题意有：，即有，整理得，
即，两边平方整理成关于的一元二次方程得
，                 （13分）
关于的方程有无穷多解，
故有：，
故所求点坐标为（－1，0）或（－49，0）．                          （16分）
（注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分）

略