Question

(Ⅰ)已知x＞0或x＜-1，求证：ln＜；

(Ⅱ)已知函数y=在(0，+∞)上单调递增，求证：当x_l、x₂＞0时，f(x₁)+f(x₂)＜f(x₁+x₂)；

(Ⅲ)求证：(n≥2，n∈N^*).

Answer 1

答案：证明：(Ⅰ)要证ln,只证ln(1+)＜.           

令t=,只证ln(1+t)＜t.

令g(t)=ln(1+t)-t(t＞-1,且t≠0,此时x＞0或x＜-1).

则g′(t)=.

当-1＜t＜0时,g′(t)＞0；当t＞0时,g′(t)＜0.∴当t＞-1时,g(t)≤g(0),即ln(1+t)-t≤0.∵t≥-1且t≠0,∴ln(1+t)＜t.∴ln成立. 

(Ⅱ)由x₁＞0,x₂＞0,有x₁+x₂＞x₁,x₁+x₂＞x₂.∵在(0,+∞)上单调递增,

∴

∴f(x₁)＜f(x₁+x₂),f(x₂)＜f(x₁+x₂).

∴f(x₁)+f(x₂)＜f＜x₁+x₂). 

(Ⅲ)由(Ⅱ)推广,有f(x₁)+f＜x₂)+…+f＜x_n)＜f(x₁+x₂+…+x_n).

要证ln2+ln3+…+lnn＞,

只证ln2²+ln3²+…+lnn²＞.

即证ln+ln+…+ln＜

令f(x)=xlnx(x＞o),则=lnx在(0,+∞)上单调递增.

要证原不等式成立,只证

又

.

由=(其中k=l,2,…,n-1).

∴.

∴1n()＜ln(l),

又由(Ⅰ),ln(1)＜(n≥2),∴ln()＜＜0,

且＞

∴()ln()＜.

∴.

∴原不等式成立. 

(Ⅲ)另证：∵ln2+ln3+…+lnn＞ln2.

而ln2＞ln2＞3ln2＞11n8＞18＞e,

又＜3n-3＜n²+nn²-2n+3＞0(n-1)²+2＞0.

∴.∴结论成立.