Question

①在直角坐标系中，

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

表示什么曲线？（其中a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量．）
②若点P为圆C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一点，且O为原点，A（1，0），求

OP

•

AP

的取值范围．

Answer 1

分析：①由cos²θ+cos²θ=1 消去θ，即得 曲线的直角坐标方程，从而得出表示什么曲线即可．
②根据点P为圆C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一点，故由①可设点P的坐标为（2+2cosθ，3+2sinθ），将向量用三角式表示，再利用向量的数量积公式结合三角函数的性质即可求出

OP

•

AP

的取值范围．

解答：解：①∵a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量，且

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

，
∴有：

x-a=rcosθ y-b=rsinθ

?（x-a）²+（y-b）²=r²．                         …（3分）
所以，在直角坐标系中，

x=a+rcosθ y=b+rsinθ

表示的是以（a，b）为圆心，r为半径的圆．            …（6分）
②∵点P为圆C：（x-2）²+（y-3）²=4上任意一点，故由①可设点P的坐标为（2+2cosθ，3+2sinθ）．      …（8分）
∴

OP

=(2+2cosθ，3+2sinθ)，

AP

=(1+2cosθ，3+2sinθ)．   …（10分）
故

OP

•

AP

=(2+2cosθ)(1+2cosθ)+(3+2sinθ)2
?

OP

•

AP

=15+6cosθ+12sinθ=15+6

5

sin(θ+φ)…（12分）
又∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴15-6

5

≤

OP

•

AP

≤15+6

5

．     …（13分）

点评：本题考查轨迹方程、圆的参数方程，把参数方程化为普通方程的方法，两个向量的数量积，正弦函数的值域，