Question

已知C₁的极坐标方程为ρcos(θ-

π

4

)=1，M，N分别为C₁在直角坐标系中与x轴，y轴的交点．曲线C₂的参数方程为

x= t - 1 t y=4-(t+ 1 t )

（t为参数，且t＞0），P为M，N的中点，求过OP（O为坐标原点）的直线与曲线C₂所围成的封闭图形的面积．

Answer 1

分析：先将曲线C₁的化成直角坐标方程，曲线C₂的普通方程和直线OP的直角坐标方程，直线OP与曲线C₂的交点横坐标，最后利用定积分的几何意义求出直线OP与曲线C₂所围成的封闭图形的面积．

解答：解：曲线C₁的直角坐标方程为x+y-

2

=0，（2分）
与x轴的交点为M(

2

，0)，N(0，

2

)，（3分）
消去参数t得到曲线C₂的普通方程为y=2-x²；
直线OP：y=x，（6分）
直线OP与曲线C₂的交点横坐标为x₁=-2，x₂=1，（8分）
则直线OP与曲线C₂所围成的封闭图形的
面积为S=

∫

-2 1

(2-x2-x)dx=(2x-

x3

3

-

x2

2

)

s

-2 1

=

9

2

．（10分）

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、抛物线的参数方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．