Question

如图，在直角梯形ABCD中，，，且，E、F分别为线段CD、AB上的点，且．将梯形沿EF折起，使得平面平面BCEF，折后BD与平面ADEF所成角正切值为．

（Ⅰ）求证：平面BDE；
（Ⅱ）求平面BCEF与平面ABD所成二面角（锐角）的大小．

Answer 1

(1)对于面面垂直的证明，主要是通过线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理来得到，属于基础题。
(2) 45°

试题分析：证明（Ⅰ）∵，平面平面BCEF，∴平面BCEF，

∴是BD与平面ADEF所成角，得．
设，则，，得．
∴F为AB中点，可得，又平面BCEF，得，∴平面BDE．
（Ⅱ）取中点M，连结MB、MD，易知MB∥AD，∴平面ABMD即平面ABD．∵平面BCEF，∴MB，∴平面CDE，得，DM⊥BM．
又MB⊥EC．∴∠DME即平面BCEF与平面ABD所成二面角．
易知∠DME=45°．∴平面BCEF与平面ABD所成二面角为45°．
点评：考查了空间中垂直的证明，以及二面角的求解的运用，属于基础题。