Question

△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
（Ⅰ）若△ABC的面积S△ABC=

3

2

， c=2， A=

π

3

，求a，b及角B；
（Ⅱ）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值，从而可得B；
（2）利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a²+b²=c²，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．

解答：解：（Ⅰ）∵S△ABC=

1

2

bcsinA，
∴

1

2

b•2•

3

2

=

3

2

，
∴b=1，
∴a=

b2+c2-2bccosA

=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴c²=a²+b²
∴B=

π

6

；
（Ⅱ）∵a=ccosB，
∴由余弦定理得：a=c•

a2+c2-b2

2ac

，
∴a²+b²=c²，
∴∠C=90°；
在Rt△ABC中，sinA=

a

c

，
∵b=csinA，
∴b=c•

a

c

，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评：本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．