Question

在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c且（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求A；
（2）若B-C=90°，c=4，求b．（结果用根式表示）

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，把已知条件变形后代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据（1）求出的A的度数，利用内角和定理求出B+C的度数，与B-C的度数联立即可求出B和C的度数，由求出的B和C的度数及c的值，利用正弦定理表示出b，然后利用两角和的正切函数公式求出tan75°的值，代入即可求出b．

解答：解：（1）由已知得：（b+c）²-a²=3bc，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A是三角形的内角，
∴A=60°；
（2）由

B+C=120° B-C=90°

得：B=105°，C=15°，
由正弦定理得：

b

sin105°

=

4

sin15°

，即b=

4sin105°

sin15°

=4tan75°，
∵tan75°=tan（45+30）=

tan45°+tan30°

1-tan45°tan30°

=2+

3

，
∴b=8+4

3

．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．