Question

在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c．向量

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，2a-c）且向量

m

与

n

共线．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=

3

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量平行满足的条件得到一个关系式，根据正弦定理及两角和的正弦函数公式化简后，即可得到cosC的值．
（Ⅱ）直接利用余弦定理以及基本不等式求出ac的范围，然后求出三角形的面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）向量

m

与

n

共线，得bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理，得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，sinA≠0，
cosB=

1

2

；
（Ⅱ）若b=

3

，

1

2

=cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-3

2ac

，
∴ac=a²+c²-3，
∴ac≤3，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3 3

4

．
三角形面积的最大值为：

3 3

4

．

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及两角和的正弦函数公式化简求值，灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握平面向量平行时满足的条件，是一道中档题．