Question

a是一个常数，函数f(x)=

x4+ax2+1

x4+x2+1

的值域不可能是（　　）

• A．{1}
• B．[

  1

  3

  (a+2)，1]
• C．[1，

  1

  3

  (a+2)]
• D．[2-a，

  1

  3

  (a+2)]

Answer 1

分析：利用均值不等式来求值域，先把 函数f(x)=

x4+ax2+1

x4+x2+1

的分子凑出分母的形式来，再让每一项除以分母，化简为f(x)=1+

(a-1)x2

x4+x2+1

，再让分式的分子分母同除以x²，最后用均值不等式求范围即可．

解答：解：f(x)=

x4+ax2+1

x4+x2+1

=1+

(a-1)x2

x4+x2+1

，∵

x2

x4+x2+1

=

1

x2+1+ 1 x2

∴0≤

x2

x4+x2+1

≤

1

3

当a=1时，f（x）=1；
当a＜1时，

1

3

(a+2)≤f(x)≤1
当a＞1时，1≤f(x)≤

1

3

(a+2)；   
 故选D

点评：本题主要考查了利用均值不等式求函数的值域，关键是如何凑出均值不等式的形式．