题目内容

定义域是R的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”．有下列关于“A的相关函数”的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数“；
②f（x）=x2是一个“λ的相关函数“；
③“2的相关函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、0
分析：利用新定义“λ的相关函数”，对①②③逐个判断即可得到答案．
解答：解：①设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，
由f（x+λ）+λf（x）=0得，（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，
因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ的相关函数”，故①不正确；
②用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，
所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，
所以f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故②不正确；
③由“2的相关函数”即λ=2，得f（x+2）+2f（x）=0，
令x=0代入上式得，f（2）+2f（0）=0，所以f（2）=-2f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；
若f（0）≠0，f（2）•f（0）=-2f2（0）＜0，
又∵f（x）的函数图象是连续不断，
∴由零点存在定理得，函数f（x）在（0，2）上必有实数根．
因此任意的因此任意的“2的相关函数”至少有一个零点，故③正确，
故选：A．
点评：本题考查抽象函数及其应用，及反证法与函数零点存在定理的应用，考查推理与转化思想，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=
f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dg
f(x)，当x∈Df且x∉Dg
g(x)，当x∉Df且x∈Dg
．
（1）若函数f（x）=
1
x-1
，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
下列叙述
①对于函数f（x）=-x2+1，当x1≠x2时，都有
f(x1)+f(x2)
2
＜f（
x1+x2
2
）；
②设f（x）=
1+x2
1-x2
则f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
2012
）=0；
③定义域是R的函数y=f（x）在[a，b）上递增，且在[b，c]上也递增，则f（x）在[a，c]上递增；
④设满足3x=5y的点P为（x，y），则点P（x，y）满足xy≥0．
其中正确的所有番号是：
①②④
①②④
．
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=
f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg
1      当x∈Df且x∉Dg
-1   当x∉Df且x∈Dg
．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
对于以下命题
①若（
1
2
）a=（
1
3
）b，则a＞b＞0；
②设a，b，c，d是实数，若a2+b2=c2+d2=1，则abcd的最小值为-
1
4
；
③若x＞0，则（（2-x）ex＜x+2；
④若定义域为R的函数y=f（x），满足f（x）+f（x+2）=2，则其图象关于点（2，1）对称．
其中正确命题的序号是
 
（写出所有正确命题的序号）．

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