Question

已知数列的前项和为，且 (N^*),其中．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设 (N^*).
①证明： ；
② 求证：.

Answer 1

(Ⅰ) .      (Ⅱ)见解析

本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到，②由于，
所以利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当时，由得. ……2分
若存在由得，
从而有，与矛盾，所以.
从而由得得. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵∴
∴ 
∴.…………10分
证法二：，下同证法一.          ……10分
证法三：（利用对偶式）设，，
则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即
                   ………10分
证法四：（数学归纳法）①当时, ,命题成立;
②假设时,命题成立,即,
则当时,

   即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立.          ………………10分
②由于，
所以，
从而.
也即