Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）角A的正弦值；           
（2）求边b、c；       
（3）求d的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理化简已知的等式sin2A-sin2C=sin2B-

8

5

sinBsinC，得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可；
（2）根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于6即可得到bc的值，然后根据余弦定理表示出cosA，把bc的值和a的值代入即可得到b与c的平方和的值，与bc的值联立即可求出b与c的值；
（3）设点D到三角形三边的距离分别为x，y和z，然后根据三角形的面积分为三个小三角形来求，利用三角形的三边分别为3，4，5，高分别为x，y和z，利用三角形的面积公式表示三个小三角形的面积之和等于三角形ABC的面积等于6，得到关于x，y和z的方程，解出z，根据d=x+y+z，把表示出的z代入即可得到d关于x与y的关系式，根据x与y大于等于0，z大于等于0得到3x+4y小于等于12，画出不等式表示的平面区域，即可得到d的取值范围．

解答：解：（1）a2-c2=b2-

8bc

5

?

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

?cosA=

4

5

?sinA=

3

5

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

5

=6，
∴bc=20，由

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

及bc=20与a=3，
得到b²+c²=41，与bc=20联立，
解得：b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则S△ABC=

1

2

(3x+4y+5z)=6，d=x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，
又x、y满足

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

，
画出不等式表示的平面区域如图所示：
得到d的取值范围为：

12

5

＜d＜4．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．