Question

定义在R上的奇函数f(x)=a+

1

1+4x

．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（-∞，+∞）的单调性并用定义给予证明．

Answer 1

分析：（1）由定义域为R且是奇函数，可知f（0）=a+

1

2

=0得解．
（2）用定义证明，先在给定的区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．

解答：解：（1）因为定义域为R且是奇函数
∴f（0）=a+

1

2

=0
∴a=-

1

2

（2）f（x）是减函数，
∵定义域为R，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x2）=

4x2-4x1

(1+ 4x1)(1+4x2)

∵4x2-4x1＞0
而分母大于0恒成立，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调递减函数．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用和单调性定义在证明单调性中的应用．要注意变形到位．