题目内容
在锐角△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量
=（2sinB，
），
=（2cos2B-1，cosB），且向量
与
共线．
（1）求角B的大小；
（Ⅱ）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
| x |
| 3 |
| y |
| x |
| y |
（1）求角B的大小；
（Ⅱ）如果b=1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数
专题：解三角形
分析：（I）由向量
与
共线，求得tan2B=
，再结合0＜B＜
，求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理、基本不等式求得ac≤2+
，可得s△ABC=
acsinB≤
(2+
)，从而求得△ABC的面积S△ABC的最大值．
| x |
| y |
| 3 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由余弦定理、基本不等式求得ac≤2+
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
解答：
解：（I）由向量
与
共线有：2sinBcosB=
(2cos2B-1)，即tan2B=
．
又0＜B＜
，所以0＜2B＜π，则2B=
，即B=
．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即 1=a2+c2-
ac≥(2-
)ac，
所以ac≤2+
，当且仅当a=c时等号成立，
所以s△ABC=
acsinB≤
(2+
)，即△ABC的面积S△ABC的最大值为
．
| x |
| y |
| 3 |
| 3 |
又0＜B＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，即 1=a2+c2-
| 3 |
| 3 |
所以ac≤2+
| 3 |
所以s△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
2+
| ||
| 4 |
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．
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