Question

实数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
（1）求点（a，b）对应的区域的面积；
（2 ）求的取值范围．

Answer 1

解：（1）构造函数f（x）=x²+ax+2b
∵一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内
∴
对应的区域如图所示

由，可得a=-3，b=1，
∴点（a，b）对应的区域的面积为=1；
（2 ）表示（a，b）与点（1，2）连线的斜率
由（-3，1），（1，2）可得斜率为=；由（-1，0），（1，2）可得斜率为=1
∴的取值范围为（，1）．
分析：（1）构造函数f（x）=x²+ax+2b，利用零点存在定理，建立不等式组，确定平面区域，即可求得点（a，b）对应的区域的面积；
（2）明确的几何意义，求出斜率，即可求的取值范围．
点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布，以及线性规划的基本知识，考查数形结合的数学思想，属于中档题．