Question

如图，是半径为2的一个半圆，O为圆心，A、B是直径的两个端点，M、N为半圆弧上的两个动点(点M不与A重合)，点P在半径OA上，OP=a(a为定值)，其中0＜a＜2，∠AOM=2∠BPN，直线PN与OM相交于点Q.能否找到两条相交直线，使动点Q到这两条直线的距离之积为定值？若能，请求出这个定值；若不能，请说明理由.

Answer 1

答案：解：以O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，

则半圆O的方程为x²+y²=4(y≥0)，

设∠AOM=2α(0＜2α≤π)，则∠BPN=α，

∠APN=π-α，点M坐标为(2cos2α，2sin2α)，

直线OM的方程为y=xtan2α，

直线PN的方程为y=-(x-a)tanα，

由以上两方程消去α，

可得y[1-]=，

即1-=，

也即(x-a)²-y²=-2x(x-a)，

即3(x-a)²-y²=，

由此可知点Q在双曲线3(x-a)²-y²=上运动.

而该双曲线的渐近线方程为3(x-)²-y²=0，

即y=(x-a).

设Q(x，y)到两渐近线的距离分别为d₁、d₂，则3(x-)²-y²=总成立.

且d₁·d₂=

=.