Question

（2012•浦东新区一模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠ABC=45°．
（1）求点A 到平面 A₁BC的距离；
（2）求二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

分析：（1）利用三棱锥的体积计算公式和等积变形即可得出；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质和二面角的定义即可得出．

解答：解：（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°．
∴VA1-ABC=

1

3

×

1

2

×22×2=

4

3

．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴A₁A⊥AB，A₁A⊥AC．
∴A1A=A1C=AC=2

2

．∴S△A1BC=

3

4

×(2

2

)2=2

3

．
设点A到平面距离为h，由

1

3

h•S△A1BC=VA1-ABC=

4

3

，∴

1

3

h×2

3

=

4

3

，解得h=

2 3

3

．
∴点A到平面距离为

2 3

3

．
（2）设A₁C的中点为M，连接BM，AM．
∵BA₁=BC，AA₁=AC，∴BM⊥A₁C，AM⊥A₁C．
∴∠AMB是二面角A-A₁C-B的平面角．
∵tan∠AMB=

2

，∴∠AMB=arctan

2

．
∴二面角A-A₁C-B的大小为arctan

2

．

点评：熟练掌握三棱锥的体积计算公式、等积变形、直角三角形斜边中线的性质和二面角的定义是解题的关键．