Question

【题目】已知平行四边形中，，为的中点，且△是等边三角形，沿把△折起至的位置，使得．

（1）是线段的中点，求证：平面；

（2）求证：；

（3）求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）取的中点，连结、，可证，且，结合条件可得四边形为平行四边形，所以，由线面平行的判定定理即可得到平面；（2）由折叠前图形可得,在四棱锥中，即有，由余弦定理和勾股定理可得，从而证得平面，由线面垂直的性质可证得结论；（3）设点到平面的距离为，进行定体积变换即可求得点到平面的距离．

试题解析：证明：（1）取的中点，连结、，

因为为的中点，故，且，

又，且

所以四边形为平行四边形，，

又平面，平面，故平面．

（2）折叠前，，，即，

在四棱锥中，即有，

在△中，，，由余弦定理得，

又，，由勾股定理的逆定理，得，，

又，从而平面，

平面，得．

（3）由（2）知，平面，

设点到平面的距离为，则由，

得，，

解得．