Question

【题目】（本小题满分12分）已知是定义在 上的奇函数，且，当,时，有成立．

（Ⅰ）判断在 上的单调性，并加以证明；

（Ⅱ）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在[－1, 1]上单调递增；（2）m＝0或|m|≥2．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）任取 [－1, 1]，且，则－[－1，1]．因为f（x）为奇函数．

所以,

由已知得 ＞0，，

所以，即．

所以f（x）在[－1, 1]上单调递增．

（Ⅱ）因为f（1）＝1, f（x）在[－1, 1]上单调递增，

所以在[－1, 1]上，f（x）≤1．

问题转化为，

即≥0，对a[－1，1]恒成立．

下面来求m的取值范围．

设g（a）＝≥0．

①若m＝0，则g（a）＝0，对a[－1, 1]恒成立。

②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，

若g（a）≥0，对a[－1, 1]恒成立，必须g（－1）≥0，且g（1）≥0，

所以m≤－2或m≥2．

所以m的取值范围是m＝0或|m|≥2．