题目内容
设x＞0,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
证明：(1)x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn,
∴|x|+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,
即1+x2+x4+…+x2n＞(n+1)·xn,
1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,
即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.
两式相加,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
(2)当0＜x＜1时,有xn≤xn-1≤…≤x2≤x＜1,
此时上面证明仍然成立.
综合(1)(2),知1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
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)=f(y)-f(x);
)＞f(ax-3)(0＜a＜1).