Question

已知函数y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）（x∈（0，1））的图象上任意一点的切线斜率为k，试求|k|≤1的充要条件；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证|a|＜

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求f'（x），然后根据f'（2）=0求出a，根据f（2）=0可求出b；
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x²+2ax，对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，可转化成|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立，
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立，可求出a的范围；
（Ⅲ）设x₁，x₂∈R则k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜1，即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，对x₁∈R恒成立，利用判别式可知△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0，对x₂∈R恒成立，再运用判别式可求出a的范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=-3x²+2ax（1分）
由f'（2）=0得a=3，（2分）
又f（2）=0得b=-4（3分）
（Ⅱ）k=f'（x）=-3x²+2ax   x∈（0，1），
∴对任意的 x∈（0，1），|k|≤1，即）|-3x²+2ax|≤1对任意的x∈（0，1）恒成立（4分）
等价于3x-

1

x

≤2a≤

1

x

+3x对任意的x∈（0，1）恒成立．（5分）
令g（x）=

1

x

+3x，h（x）=3x-

1

x

，
则

1

2

h（x）_max≤a≤

1

2

g（x）_min，x∈（0，1）（6分）

1

x

+3x≥2

3

，当且仅当x=

3

3

时“=”成立，∴g（x）_min=2

3

（7分）
h（x）=3x-

1

x

在（0，1）上为增函数∴h（x）_max＜2（8分）
∴1≤a≤

3

（9分）
（Ⅲ）设x₁，x₂∈R则k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=-[x₁²+x₁x₂+x₂²-a（x₁+x₂）]＜1（10分）
即x₁²+（x₂-a）x₁+x₂²-ax₂+1＞0，对x₁∈R恒成立（11分）
∴△=（x₂-a）²-4（x₂²-ax₂+1）＜0，对x₂∈R恒成立
即3x₂²-2ax₂+（4-a²）＞0对x₂∈R恒成立（13分）
∴4a²-12（4-a²）＜0
解得a²＜3?|a|＜

3

（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及导数的几何意义，同时考查了恒成立问题和转化的数学思想，是一道综合题，有一定的难点．