Question

7．函数y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）的最大值和最小值的和为2．

Answer 1

分析 化简函数y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1=ln$\frac{1-x}{1+x}$+1，设f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），则f（x）是定义域上的奇函数；用f（x）在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）上的最大、最小值表示函数y的最大、最小值，求出它们的和．

解答 解：∵函数y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1=ln$\frac{1-x}{1+x}$+1，
∴设f（x）=ln$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，1），
则f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数；
不妨设f（x）在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）上的最大值为M，则最小值为-M，
∴函数y=ln（$\frac{2}{1+x}$-1）+1，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1）的最大值为M+1，最小值为-M+1；
∴（M+1）+（-M+1）=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了函数的奇偶性以及最大最小值的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目．