Question

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

Answer 1

（1）见解析   （2）二面角的余弦值为

(I)本小题通过证平面MBF即可.
(2)本小题的关键是作出二面角的平面角．延长交于，连，过作，连结．证为平面与平面所成的二面角的平面角即可
（法一）（1）平面平面， ．………1分
又，平面而平面
． ……3分是圆的直径，．
又，．
平面，，平面．
与都是等腰直角三角形．．
，即（也可由勾股定理证得）．
， 平面．而平面，． 7分
（2）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，．而，
平面．平面，，
为平面与平面所成的二面角的平面角．
在中，，，．
由，得．．2
又，，则．
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…14分
（法二）（1）同法一，得．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
．由，
得， ． …7分
（2）由（1）知．设平面的法向量为，
由 得，
令得，， ……9分由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角为