Question

【题目】已知圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为

(1)求圆C的方程;

(2)如图,过F1、F2作两条平行线l1、l2与C的上半部分分别交于A、B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值

Answer 1

【答案】（1）.（2）3.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率为,直线y=1与C的两个交点间的距离为，求出a，b，即可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，可得，利用基本不等式，求四边形ABF2F1面积的最大值．

试题解析：（1）易知椭圆过点，所以， ①

又，② ，③

联立①②③得，， 所以椭圆的方程为.

（2）设直线，它与的另一个交点为.设

与联立，消去，得， .

此时：， .

又到的距离为， 所以.

令，则，所以当时，最大值为3.

又

所以四边形面积的最大值为3。