题目内容

已知向量
m
=(sin2x+
1+cos2x
2
，sinx)，
n
=(
1
2
cos2x-
3
2
sin2x，2sinx)，设函数f(x)=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）值域．
（Ⅰ）∵向量
m
=(sin2x+
1+cos2x
2
，sinx)，
n
=(
1
2
cos2x-
3
2
sin2x，2sinx)，
∴f(x)=
m
•
n
=
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+2sin2x=1-
1
2
cos2x-
3
2
sin2x=1-sin(2x+
π
6
)．（4分）
所以其最小正周期为T=
2π
2
=π．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1-sin(2x+
π
6
)，
又∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
，1]
∴1-sin(2x+
π
6
)∈[0，
3
2
]．（10分）
所以函数f（x）的值域为[0，
3
2
]．（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，则sin2θ的值为
 
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，当θ∈[0，π]时，函数f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．
（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面积．

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