Question

函数.
（1）若，函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）设，若对任意恒成立，求的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）由题意可得，当时，在区间上是单调递增函数等价于对于任意的，（不妨），恒成立，从而将问题转化为
在恒成立，即有，在上恒成立，而的，，且，故有，因此分析可得要使恒成立，只需，即有实数的取值范围是；（2）由题意分析可得问题等价于在上，，从而可将问题转化为在上，求二次函数
的最大值与最小值，因此需要对二次函数的对称轴分以下四种情况讨论：①当，即；②当，即；③当，即；④当，即，结合二次函数的图像和性质，可分别得到在以上四种情况下的最大值与最小值，从而可得实数的取值范围是.
试题解析：（1）时，，
任设，，    ..2分
，
∵函数在上是单调递增函数，∴恒有，..........3分
∴恒有，即恒有，           .4分
当时，，∴，∴，即实数的取值范围是    ..6分
（2）当时，
对任意有恒成立等价于在上的最大值与最小值之差        ..7分
当，即时，在上单调递增，
∴，，∴，与题设矛盾；  ..9分
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，∴，，∴恒成立，
即有，      ..11分
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，，
∴恒成立，∴；      .13分
当，即时，在上单调递减，
∴，，∴，与题设矛盾，  .15分
综上所述，实数的取值范围是．            16分