Question

已知cos(α+

π

4

)=

3

5

，(

π

2

＜α＜

3

2

π)．
（1）求sinα•cosα的值；
（2）求sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，得出cosα-sinα的关系式，把此关系式两边平方后，根据同角三角函数间的平方关系化简，求出sinαcosα的值；
（2）由（1）求出的sinαcosα的值大于0，且根据α的范围，得到α的具体范围，进而得到sinα+cosα小于0，利用完全平方公式化简（sinα+cosα）²，再根据同角三角函数间的平方关系化简后，把sinαcosα的值代入，开方求出sinα+cosα的值，再由cosα-sinα的值，代入cos2α化简后的式子中求出cos2α的值，将sinαcosα的值代入sin2α化简后的式子中求出sin2α的值，最后把所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sin2α和cos2α的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵cos(α+

π

4

)=

3

5

，
∴cosα-sinα=

3 2

5

，…（2分）
两边平方得：（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=

18

25

，
则sinαcosα=

7

50

；…（5分）
（2）∵sinαcosα=

7

50

＞0且

π

2

＜α＜

3

2

π，
∴π＜α＜

3

2

π，从而sinα+cosα＜0，
又(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

32

25

，
∴cosα+sinα=-

4 2

5

，又cosα-sinα=

3 2

5

，
∴cos2α=cos2α-sin2α=-

24

25

，…（9分）
sin2α=

7

25

，…（10分）
则sin(2α+

π

4

)=

2

2

(sin2α+cos2α)=-

17 2

50

．…（12分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．