Question

已知cos(

π

4

+α)=

3

5

，

π

2

≤α＜

3π

2

，求

1-cos2α+sin2α

1-tanα

的值．

Answer 1

分析：先把所求的式子利用三角函数的基本公式化简，再由两角和的余弦把条件展开，求出“cosα-sinα”，通过平方利用同角三角函数的基本关系式，求sin2α，利用角的范围和平方关系即可求出sinα+cosα的值，代入化简后的式子求值．

解答：解：

1-cos2α+sin2α

1-tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1- sinα cosα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

cosα-sinα

=

sin2α(sinα+cosα)

cosα-sinα

，
由cos(

π

4

+α)=

3

5

得，

2

2

(cosα-sinα)=

3

5

，
即cosα-sinα=

3 2

5

，两边平方得，1-sin2α=

18

25

，
得sin2α=

7

25

，
∵

π

2

≤α＜

3π

2

，∴cosα+sinα＜0，
∴cosα+sinα=-

1+sin2α

=-

4 2

5

，
∴

1-cos2α+sin2α

1-tanα

=

7 25 ×(- 4 2 5 )

3 2 5

=-

28

75

．

点评：、本题考查三角函数的基本公式、切化弦，“sin2α，sinα±cosα三者的关系”的灵活应用，解题的关键是由角的范围判断式子的范围，这种类型题解法灵活，关键灵活运用公式．