Question

设椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）若过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求圆C方程及椭圆D的方程；
（Ⅱ）若过点T（3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足

OM

+

ON

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

BF1

=

F1F2

，可得F₁为BF₂的中点，根据AB⊥AF₂，可得a，c的关系，利用过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆的方程；
（Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF₂，所以在Rt△ABF₂中，BF22=AB2+AF22，
又因为

BF1

=

F1F2

，所以F₁为BF₂的中点，
所以(4c)2=(

9c2+b2

)2+a2
又a²=b²+c²，所以a=2c．
所以F₂（

a

2

，0），B（-

3

2

a，0），
Rt△ABF₂的外接圆圆心为F₁（-

a

2

，0），半径r=a，
因为过A、B、F₂三点的圆C恰好与直线l：x-

3

y-3=0相切，
所以

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，所以c=1，b=

3

．
所以椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，圆的方程为（x+1）²+y²=1；
（Ⅱ）设直线MN方程为y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），则
直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
∴△=（24k²）-4（4k²+3）（36k²-12）＞0，
∴k²＜

3

5

，
x₁+x₂=

24k2

4k2+3

，x₁x₂=

36k2-12

4k2+3

，
∵

OM

+

ON

=t

OP

，
∴x₁+x₂=tx，y₁+y₂=ty，
∴tx=

24k2

4k2+3

，ty=

-18k

4k2+3

，
∴x=

24k2

(4k2+3)t

，y=

-18k

(4k2+3)t

，
代入椭圆方程可得3×[

24k2

(4k2+3)t

]²+4×[

-18k

(4k2+3)t

]²=12，
整理得t2=

36k2

4k2+3

=

36

4+ 3 k2

∵k²＜

3

5

，
∴0＜t²＜4，
∴实数t取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题考查椭圆方程与圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系，难度大