Question

（2013•青岛一模）设F₁F₂别是椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F₂斜角为

π

3

的直线交椭圆D于A、B点，F₁到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为（-A，0），若点N（0，t）是线段PQ垂直平分线的一点，且满足

NP

•

NQ

=4，求实数t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0，由点斜式可得AB方程，由F₁到直线AB的距离为3，得

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解出得c，由菱形面积为4得

1

2

×2a×2b=4，再由a²-b²=c²=3即可解得a，b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得P（-2，0），设Q（x₁，y₁），易知直线l存在斜率，设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可用k表示x₁，代入直线方程得y₁，从而可得线段PQ中点坐标，分情况讨论：当k=0时由

NP

•

NQ

=4易求t值；当k≠0时由点斜式可得垂直平分线方程，把点N坐标代入该方程可用k表示出t，再由

NP

•

NQ

=4可求得k，进而可得t值，综合两种情况可得t值；

解答：解：（Ⅰ）设F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0），其中c＞0，
由题意得AB的方程为：y=

3

（x-c），
因F₁到直线AB的距离为3，所以有

|- 3 c- 3 c|

3+1

=3，解得c=

3

，
所以有a²-b²=c²=3，①
由题意知：

1

2

×2a×2b=4，即ab=2，②
联立①②解得：a=2，b=1，
所求椭圆D的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（-2，0），设Q（x₁，y₁），
根据题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+2），
把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韦达定理得-2+x₁=-

16k2

1+4k2

，则x1=

2-8k2

1+4k2

，y1=k(x1+2)=

4k

1+4k2

，
所以线段PQ的中点坐标为(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)，
（1）当k=0时，则有Q（2，0），线段PQ垂直平分线为y轴，
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(2，-t)，
由

NP

•

NQ

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

；
（2）当k≠0时，则线段PQ垂直平分线的方程为y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)，
因为点N（0，t）是线段PQ垂直平分线上的一点，
令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，
于是

NP

=(-2，-t)，

NQ

=(x1，y1-t)，
由

NP

•

NQ

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

，
代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

，
综上，满足条件的实数t的值为t=±2

2

或t=±

2 14

5

．

点评：本题考查直线、椭圆方程及其位置关系，考查向量的数量积运算等基础知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．