题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1， $数学公式$ ．
（1）求a_n；
（2）设f（x）=sinx，A_n是数列{f（a_n）}前n项的和，B_n是{a_n}前n项的和，比较A_n与B_n的大小；

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得，na_n=（n-1）a_n-1，（2分）
∴{na_n}构成以1×a₁为首项的常数数列，又1×a₁=1，故na_n=1，∴ $\text{[math]}$ ．（5分）
（2）令 $\text{[math]}$ ，
可使 $\text{[math]}$ （x＞0）．
则在单位圆中，由当 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （9分）
∴ $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$
∴A_n＜B_n．（12分）
分析：（1）化简 $\text{[math]}$ ，构造新的数列{na_n}，求出新数列的通项公式，进而可求出数列的通项公式．
（2）求出{f（a_n）}，利用函数思想创造新的函数 $\text{[math]}$ ，求出在任何情况下函数都大于0，即数列{f（a_n）}得每一项都小于{a_n}的每一项，进而判断A_n与B_n的大小．
点评：此题主要考查构造新数列及利用函数思想就绝数列的有关问题．

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在数列{a_n}中，

an-1+1（n≥2），则数列{a_n}的通项公式为a_n=

在数列{a_n}中，a 1=

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：

在数列{a_n}中，a=

，前n项和S_n=n²a_n，求a_n+1．

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(先在横线上填上一个结论,然后再解答)

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，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：