Question

已知椭圆E：的左顶点、上顶点分别为A、B，P为线段AB上一点，F₁、F₂分别为椭圆E的左、右焦点，若的最小值小于零，则椭圆E的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：依题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，求得若的最小值，令＜0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．
解答：解：依题意，作图如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AB的方程为：+=1，整理得：bx-ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y）
则bx=ay-ab，
∴x=y-a，
∵•=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=+-c²．
=+-c²，
令f（y）=+-c²，
∵f′（y）=2（y-a）×+2y，
∴由f′（y）=0得：y=，于是x=-，
此时f（y）取到最小值，
即=+-c²，
∵＜0，
∴+-c²＜0，
整理得：＜c²，又b²=a²-c²，e²=，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∴＜e²＜，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴＜e²＜1，
∵==，
∴＜e＜1．
故选C．
点评：本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查函数的最值的求法，求得是关键，更是难点，属于难题．