Question

已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出圆C与x轴交点坐标，即可确定椭圆E的方程；
（2）求出直线PF₂、PF₁的斜率，利用β-α=，结合两角差的正切公式，即可证得结论．
解答：（1）解：圆与x轴交点坐标为，，
故，所以b=3，∴椭圆方程是：．
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-，0），F₂（，0），
设点P（x，y），则=tanβ=，=tanα=，
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．
因为tan（β-α）==，
所以=-，化简得x²+y²-2y=3．
所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．
点评：本题考查椭圆的方程，考查两角差的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．