题目内容

已知如图，直线l：x=-
p
2
（p＞0），点F(
p
2
，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．
（1）设点P坐标为P（x，y），则点Q坐标为Q（-
p
2
，y)
则
QP
=(x+
p
2
，0)，
QF
=(p，-y)，
FP
=(x-
p
2
，y)，
FQ
=(-p，y)（2分）
由
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．得：y2=2px（p＞0）（4分）
（2）p=2时，y2=4x．
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，（n为常数）．
代入y2=4x得y2+4ky+4n=0
△=（4k）2-16n＞0即k2-n＞0（3分）
又∵AB中点M在直线y=kx+3上，
则（2k2-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k3-nk+3（5分）
∴
k2-n＞0
-2k=2k3-nk+3

即k2+
3
k
+2＜0．                                                     （6分）
（3）联立
y=x-a
y2=2px
?y2-2px-2pa=0，
∵△=4p2+8pa＞0?a＞-
p
2
（1分）
∴|AB|=
2
|x1-x2|=
2
|y1-y2|=
2
(2p)2+8pa
≤2p
∴a≤-
p
4

∴-
p
2
＜a≤-
p
4
．                                       （2分）
AB中垂线y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p
令y=0，x=a+2p
∴h=
|2p|
2
=
2
p（3分）
∴S△=
2p
•
2
(2p)2+8pa
×
1
2
=P
4p2+8pa
（4分）
在(-
p
2
单调递增                                   （5分）
当a=-
p
4
时，Smax=
2
p2．                             （6分）
练习册系列答案
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如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x2+y2-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．
如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x2+y2-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积为
3
3
5
时，求直线l的方程．
（2007•崇明县一模）已知如图，直线l：x=-
p
2
（p＞0），点F(
p
2
，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且
QP
•
QF
=
FP
•
FQ
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
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（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．

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