Question

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）设出椭圆方程，圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），从而可求a=2，半焦距c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立．利用韦达定理，求出S_△AOB，利用换元法及导数，即可求得S_△AOB的最大值．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+ 

y2

b2

=1（a＞b＞0），圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，
圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 x-my-1=0

，消元可得（3m²+3）y²+6my-9=0
∴y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

∴|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

∴S_△AOB=

1

2

|OF||y₁-y₂|=

6 m2+1

3m2+4

令

m2+1

=t，则t≥1，m²=t²-1
∴S_△AOB=

6t

3t2+1

∴S′_△AOB=

1-3t2

(3t2+1)2

∵t≥1，∴S′_△AOB＜0
∴S_△AOB在t∈[1，+∞）上是减函数
∴当t=1时，S_△AOB取得最大值，最大值为

3

2

．

点评：本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，正确表示三角形的面积是关键．