Question

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x²+y²-2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x-my-1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积为

3 3

5

时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），由题意a=2，半焦距c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 x-my-1=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，所以|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

，故S_△AOB=

1

2

•|OF|•|y₁-y₂|=

6 m2+1

3m2+4

，由△AOB面积为

3 3

5

能求出直线l的方程．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
圆F的标准方程为（x-1）²+y²=1，
圆心为F（1，0），圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 x-my-1=0

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y1+y2 =

-6m

3m2+4

，y1•y2=

-9

3m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
S_△AOB=

1

2

•|OF|•|y₁-y₂|=

6 m2+1

3m2+4

，
∵△AOB面积为

3 3

5

，∴

6 m2+1

3m2+4

=

3 3

5

，
∴

4(m2+1)

(3m2+4)2

=

3

25

，
整理，得27m⁴-28m²-52=0，
△=28²+4×27×52=4²×400，
∴m2=

28± 42×400

2×27

=

14±40

27

，
∴m²=2，或m2=-

26

27

（舍），∴m=±

2

，
∴直线l的方程为x±

2

y+1=0．

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式、韦达定理、圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的合理运用．