Question

在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的n∈N₊，都有an+1=2an+2n．
（1）求证：数列{

an

2n

}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都为定值．

Answer 1

分析：（1）由an+1=2an+2n，知

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

．由此能够证明数列{

an

2n

}是等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，故an=n•2n-1．所以Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．由错位相减法能够证明对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都为定值．

解答：证明：（1）∵an+1=2an+2n，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n

2n+1

=

1

2

．
∴数列{

an

2n

}是以

a1

21

=

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列．
（2）由（1）知

an

2n

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
∴an=n•2n-1．
∴Sn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1．…①
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n．…②
∴由②-①可得Sn=n•2n-(1+2+22+…+2n-1)=(n-1)•2n+1．
∴Sn+1-4an=n•2n+1+1-4n•2n-1=1，
故对任意的n∈N₊，S_n+1-4a_n都为定值．

点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项和的应用，综合性强，难度大，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．