Question

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，sin（B-A）=cosC．
（1）求A，C；
（2）若S_△ABC=3+

3

，求a，c．

Answer 1

（1）因为tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

所以左边切化弦对角相乘得到
sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）
即2C=A+B，C=60°，
所以A+B=120°，
又因为sin（B-A）=cosC=

1

2

，
所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=

6 + 2

4

根据正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

即：

a

2 2

=

c

3 2

∴a=

2

3

c
S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

3

c2×

6 + 2

4

=3+

3

∴c²=12∴c=2

3

∴a=

2

3

c=2

2