Question

一个数列有30项，满足a₂-3a₁=a₃-3a₂=…=a₃₀-3a₂₉=1且a₁=3a₃₀，则此数列所有项的和为

 

．

Answer 1

分析：根据题意可知a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

）进而判断数列{a_n+

1

2

}是以a₁+

1

2

为首项，以3为公比的等比数列．则数列{a_n+

1

2

}的通项公式可得，进而可求得a₃₀的表达式，把a₁=3a₃₀求得a₁，进而根据数列所有项的和为数列{a_n+

1

2

}前30项的和减去

1

2

×30得到答案．

解答：解：依题意a_n-3a_n-1=1，整理得a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

）（n≥2）
∴数列{a_n+

1

2

}是以a₁+

1

2

为首项，以3为公比的等比数列．
∴a₃₀=（a₁+

1

2

）3²⁹，把a₁=3a₃₀，代入求得a₁=

3 2 (329-1)

1-330

∴数列所有项的和为

(a 1+ 1 2 )(1-330)

1-3

-30×

1

2

=-

29

2

故答案为-

29

2

点评：本题主要考查了数列的求和问题．常需要把不规则的数列转化成等差数列或等比数列来解决．