Question

已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y），
（1）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（2）若f(

1

2

)=-1，解不等式f(x)-f(

1

x-2

)≥2．

Answer 1

分析：（1）要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x₂，判断f（x₂）＞f（x₁）即可，准确构造条件当x＞1时，f（x）＞0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则  

x2

x1

＞1，进而得出结论；
（2）要利用第一问的结论，加上条件f（x•y）=f（x）+f（y），利用单调性即可解出答案．

解答：证：（1）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1
∴f( 

x2

x1

 )＞0f(x1)-f(x2)=f(x1)-f( 

x2

x1

 • x1)=f(x1)-f( 

x2

x1

 ) -f(x1)=-f( 

x2

x1

 )＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数 （5分）
（2）解：令x=

1

2

，y=1得，f(

1

2

×1)=f(

1

2

)+f(1)⇒f(1)=0
令x=2，y=

1

2

得，f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)⇒f(2)=1
令x=y=2得，f（4）=f（2）+f（2）=2
∴f(x)-f(

1

x-2

)≥f(4)，f(x)≥f(

4

x-2

)
因此，

x≥ 4 x-2 x＞0 1 x-2 ＞0

⇒x≥1+

5

，即原不等式的解集为[1+

5

，+∞）（12分）

点评：本题要掌握定义法证明单调性的前提是x₁＜x₂，判断f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一问无法准确得出，可以直接将结论应用于第二问．