Question

11．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=4，则C的实轴长为（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 8

Answer 1

分析 根据题意，设出双曲线方程，由抛物线的几何性质可得抛物线y²=16x的准线方程，则可以设出A、B的坐标，利用|AB|=4，可得A、B的坐标，将其坐标代入双曲线方程可得λ的值，将其变形可得双曲线的标准方程，由实轴的公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，要求等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，
则可以设其方程为：x²-y²=λ，（λ＞0）
对于抛物线y²=16x，其准线方程为x=-4，
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A（-4，y），B（-4，-y）（y＞0），
若|AB|=4，则有|y-（-y）|=4，解可得y=2，
即A（-4，2），B（-4，-2），
代入双曲线方程可得：16-4=λ，解可得λ=12，
则该双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
则a=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，其C的实轴长2a=4$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题考查抛物线，双曲线的几何性质，关键是依据题意设出等轴双曲线的方程．