Question

10．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若f（$\frac{A}{2}$）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB的值．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
∴$T=\frac{2π}{2}=π$，即函数f（x）的最小正周期为π；
（2）∵$f（\frac{A}{2}）=2sin（A-\frac{π}{6}）=2$，A∈（0，π），
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，则$A=\frac{2π}{3}$．
在△ABC中，由余弦定理得，$cosA=\frac{{A{C^2}+A{B^2}-B{C^2}}}{2AC•AB}$，
即$-\frac{1}{2}=\frac{{4+1-B{C^2}}}{2×2×1}$，∴$BC=\sqrt{7}$．
由正弦定理$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，可得$sinB=\frac{AC}{BC}sinA=\frac{1}{\sqrt{7}}×sin\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．