Question

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为，所以c=1
则b=1，即椭圆C的标准方程为
（2）因为P（1，1），所以，所以k_OQ=﹣2，
所以直线OQ的方程为y=﹣2x
又椭圆的左准线方程为x=﹣2，所以点Q（﹣2，4）
所以k_PQ=﹣1，又k_OP=1，所以k_OPk_PQ=﹣1，即OP⊥PQ，
故直线PQ与圆O相切
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切
证明：设P（x₀，y₀）（），则y₀²=2﹣x₀²，
所以，，
所以直线OQ的方程为
所以点Q（﹣2，）
所以，
又，所以k_OPk_PQ=﹣1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切