Question

已知实数m＞0，a＞0，直线l：

x

a

+y=m与椭圆C：

x2

a2

+y2=1相切于点P．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）设直线l′：

x

a

+y=n与椭圆C有两个不同的交点A，B，若

PA

•

PB

的最小值为-1，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由题意，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别工即可求得m值，从而解决问题．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可知切点p(

2

2

a，

2

2

)．设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则

x1

a

+y1=n，

x2

a

+y2=n，且y₁，y₂是方程组

x a +y=n x2 a2 +y2=1

消去x所得的方程2y²-2ny+n²-1=0的两个不同实根，从而有△＞0，得出n的取值范围，最后结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可求得a值，从而求出椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得

x a +y=m x2 a2 +y2=1

消去x得2y²-2my+m²-1=0有两个相等的实数根，
即△=4m²-8（m²-1）=0，而m＞0，故m=

2

（Ⅱ）由（Ⅰ），可知切点p(

2

2

a，

2

2

)．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则

x1

a

+y1=n，

x2

a

+y2=n，且y₁，y₂是方程组

x a +y=n x2 a2 +y2=1

消去x所得的方程2y²-2ny+n²-1=0的两个不同实根，
从而有△=4n²-8（n²-1）＞0，
∴-

2

＜n＜

2

，且y1+y2=n，y1•y2=

1

2

(n2-1)．
∴x₁+x₂=a（n-y₁）+a（n-y₂）=a（2n-（y₁+y₂））=an.x1•x2=a(n-y1)•a(n-y2)=a2•[n2-n(y1+y2)+y1•y2]=

1

2

a2(n2-1)．
又由于

PA

=(x1-

2

2

a，y1-

2

2

)，

PB

=(x2-

2

2

a，y2-

2

2

)，
∴f(n)=

PA

•

PB

．
则f(n)=

PA

•

PB

=(x1-

2

2

a)•(x2-

2

2

a)+(y1-

2

2

)•(y2-

2

2

)
=x1•x2-

2

2

a(x1+x2)+

1

2

a2+y1y2-

2

2

(y1+y2)+

1

2

=

1

2

(a2+1)(n2-

2

n)．
由-

2

＜n＜

2

，知f（n）=

1

2

(a2+1)(n2-

2

n)的最小值为f(

2

2

)=-

1

4

(a2+1)．
即，当n=

2

2

，有-

1

4

(a2+1)=-1，可求得a=

3

∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、向量坐标运算的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．