Question

已知实数m>0，直线l：与椭圆C：相切于点P。
（1）求实数m的值；
（2）若与l平行的直线l'与椭圆C交于点A，B，当a=2时，求的最小值。

Answer 1

解：（1）由题意可知方程组
消去x得到的方程2y²-2my+m²-1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=4m²-8（m²-1）=0，而m>0，故m=。
（2） 设直线l'的方程为
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则，且y₁，y₂是方程组
消去x 所得的方程2y²-2ay+n²-1=0的两个不同实根，
则Δ=4n²-8（n²-1）>0，
∴，且
从而有x₁+x₂=2（n-y₁）+2（n-y₂）=2[2n-（y₁+y₂）]=2n，
x₁·x₂=2（n-y₁）·2（n-y₂）
=4[n²-n（y₁+y₂）+y₁·y₂]= 2（n²-1）
又由于，
∴令
 

由，知M的最小值为
即的最小值为。