Question

如图1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图2示，已知分别为的中点．

   

图1                              图2

（1）求证：平面；

（2）求证： ；

（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？

 

Answer 1

【答案】

（1）主要是得到（2）关键是证明平面，（3）

【解析】

试题分析：（1）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，

∴为中点，                   

在中，为中点，则为的中位线

故       

∵平面，平面，平面；

（其它证法，请参照给分）

（2）依题意知 且

∴平面

∵平面，∴，    

∵为中点，∴

结合，知四边形是平行四边形

∴，               

而，∴ ∴，即 --8分

又       ∴平面，

∵平面，  ∴.            

（3）解：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系

设，则

易知平面的一个法向量为，  

设平面的一个法向量为，

则 故，即

令，则，故           

∴，

依题意，，解得，                 

即时，平面与平面所成的锐二面角为．

考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面平行的判定定理；二面角

点评：在立体几何中，常考的定理是：直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理。在求二面角的平面角时，常利用向量来求解。