Question

在如图1所示的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=AD=BC=

1

2

CD=a，E为CD中点．若沿AE将三角形DAE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，得到如图2所示的几何体D-ABCE，在图2中解答以下问题：
（Ⅰ）设F为AB中点，求证：DF⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A-BD-C的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AE中点H，连接HF，连接EB，利用面面垂直，证明线面垂直，即DH⊥平面ABCE，进一步证明AC⊥平面DHF，从而可得线线垂直；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面DCB的法向量

m

=(0，1，1)，面DAB的法向量

n

=(1，

3

3

，

3

3

)，利用向量的夹角公式，可得二面角A-BD-C的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接HF，连接EB
因为△DAE为等边三角形，所以DH⊥AE
因为平面DAE⊥平面ABCE，平面DAE∩平面ABCE=AE
所以DH⊥平面ABCE，
因为AC?平面ABCE
所以AC⊥DH…（2分）
因为ABCE为平行四边形，CE=BC=a
所以ABCE为菱形，所以AC⊥BE
因为H、F分别为AE、AB中点，所以HF∥BE
所以AC⊥HF…（4分）
因为HF?平面DHF，DH?平面DHF，且HF∩DH=H
所以AC⊥平面DHF，又DF?平面DHF
所以DF⊥AC…（6分）
（Ⅱ）解：连接BH，EB
由题意得三角形ABE为等边三角形，所以BH⊥AE
由（Ⅰ）知DH⊥底面ABCE以H为原点，分别以HA，HB，HD所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，如图所示
则A(

a

2

，0，0)，B(0，

3

2

a，0)，D(0，0，

3

2

a)，C(-a，

3

2

a，0)
所以

BD

=(0，-

3

2

a，

3

2

a)，

BC

=(-a，0，0)
设面DCB的法向量为

m

=(x，y，z)，则

-ax=0 - 3 2 ay+ 3 2 az=0

不妨设

m

=(0，1，1)…（8分）
设面DAB的法向量

n

=(x′，y′，z′)，又

DA

=(

a

2

，0，-

3

2

a)
则

x′- 3 z′=0 y′-z′=0

，取

n

=(1，

3

3

，

3

3

)…（10分）
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

10

5

所以二面角A-BD-C的正弦值为

15

5

…（12分）

点评：本题看下线面垂直，考查线线垂直，考查面面角，考查利用空间向量解决空间角问题，属于中档题．