Question

【题目】已知函数f（x）=x2+|x﹣a|+1，x∈R，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为g（a），令m=g（a），求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+|x﹣1|+1= ，
当x＜1时，f（x）= + ≥ ；
当x≥1时，f（x）= ﹣ ，在[1，+∞）单调递增，f（x）≥f（1）=2；
∴f（x）min=f（ ）=
（Ⅱ） ，
1）当a≥ ，∴f（x）min=f（ ）= +a；
2）当 ，f（x）min=f（a）=a2+1；
3）当 ，f（x）min=f（﹣ ）= ﹣a；
所以 ，
所以，当a≥ 时，g（a）= +a≥ ；
当﹣ ＜a＜ 时，g（a）=a2+1≥1；
当a≤﹣ 时，g（a）= +a≥ ；
因为m=g（a），所以m∈[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2+|x﹣1|+1= ，易求当x= 时，f（x）min= ；（Ⅱ）依题意，可求得 ，从而可求得其最小值为1，依题意，即可求得m的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．